Gauss ja parabool eksperimentaalse lambi LED -valgusvoogude uurimiseks: 6 sammu

2024 Autor: John Day | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-30 08:46

Tere kõigile tegijatele ja Instructable'i elavale kogukonnale.

Seekord toob Merenel Research teile puhta uurimisprobleemi ja viisi selle lahendamiseks matemaatika abil.

Mul oli see probleem ise, kui ma arvutasin oma ehitatud RGB LED -lambi LED -voogusid (ja mida ma õpetan ehitama). Pärast põhjalikku veebis otsimist ei leidnud ma vastust, seega postitan lahenduse siia.

PROBLEEM

Väga sageli peame füüsikas tegelema kõveratega, millel on Gaussi jaotuse kuju. Jah! See on kellakujuline kõver, mida kasutati tõenäosuse arvutamiseks ja mille tõi meile suurepärane matemaatik Gauss.

Gaussi kõverat kasutatakse laialdaselt reaalsetes füüsilistes rakendustes, eriti kui peame tegelema allikast leviva või vastuvõtjast saadud kiirgusega, näiteks:

- raadiosignaali (nt WiFi) edastamine;

- LED -valguskiirgus;

- fotodioodi näit.

Tootja andmelehel on meile sageli antud Gaussi pindala tegelik väärtus, mis oleks kogu kiirgusvõimsus või valgusvoog teatud spektriosas (nt LED), kuid tegeliku kiirguse arvutamine muutub keeruliseks kiirgatakse kõvera tipus või isegi raskem teada saada kahe lähedase allika kattuvat kiirgust, näiteks kui me valgustame rohkem kui LED -ga (nt sinine ja roheline).

Selles juhendavas dokumendis selgitan teile, kuidas lähendada Gaussi kõverat hõlpsamini haaratavale paraboolile. Vastan küsimusele: mitu Gaussi kõverat on paraboolis?

SPOILER → VASTUS ON:

Gaussi ala on alati 1 ühik.

Sama aluse ja kõrgusega vastava parabooli pindala on 2,13 korda suurem kui Gaussi suhteline pindala (graafilist näidet vaata pildilt).

Seega on Gaussi parabool 46,94% ja see suhe on alati tõsi.

Need kaks numbrit on sel viisil seotud 0.46948 = 1/2.13, see on range matemaatiline seos Gaussi kõvera ja selle parabooli vahel ja vastupidi.

Selles juhendis juhatan teid selle samm -sammult avastama.

Ainus vahend, mida vajame, on Geogebra.org, suurepärane veebipõhine matemaatiline tööriist graafikute joonistamiseks.

Geogebra diagrammi, mille tegin parabooli võrdlemiseks Gaussiga, leiate sellelt lingilt.

See juhend on pikk, sest see on meeleavaldus, kuid kui peate kiiresti lahendama sama probleemi, mis mul tekkis LED -valgusvoogude puhul, või mõne muu nähtuse puhul, kus Gaussi kõverad kattuvad, siis minge lihtsalt tabeli juurde, mille leiate sammult lisatuna Käesoleva juhendi 5, mis muudab teie elu lihtsamaks ja teeb automaatselt kõik arvutused teie eest.

Loodan, et teile meeldib rakendatud matemaatika, sest see juhend on selle kohta.

Samm: ühevärvilise LED -i poolt eraldatava valguse mõistmine

Selles analüüsis kaalun värviliste LED -ide seeriat, nagu näete selgelt nende spektrite graafikult (esimene pilt), näeb nende spektraalvõimsuse jaotus tõesti välja nagu Gaussi, mis läheneb x -teljele -33 ja +33 nm keskmisest (tootjad tavaliselt annab selle spetsifikatsiooni). Arvestage siiski, et selle diagrammi esitus normaliseerib kõik toiteploki spektrid, kuid valgusdioodidel on erinev võimsus sõltuvalt sellest, kui tõhusalt neid toodetakse ja kui palju elektrivoolu (mA) nendesse sisestate.

Nagu näete, kattub mõnikord kahe LED -i valgusvoog spektris. Ütleme nii, et ma tahan kergesti arvutada nende kõverate kattuvat ala, sest selles piirkonnas on kahekordne võimsus ja ma tahan teada, kui palju võimsust luumenites (lm) meil seal on, noh, see pole nii lihtne ülesanne, millele püüame selles juhendis vastata. Probleem tekkis, sest katselampi ehitades tahtsin tõesti teada, kui palju sinine ja roheline spekter kattuvad.

Keskendume ainult ühevärvilistele valgusdioodidele, mis kiirgavad kitsas spektris. Graafikus: KUNINGLIK sinine, sinine, roheline, oranž-punane, punane. (Tegelik lamp, mille ma ehitan, on RGB)

FÜÜSIKA TAUST

Kerime natuke tagasi ja teeme esialgu natuke füüsika selgitusi.

Igal LED -il on värv või teaduslikumalt öeldes ütleme, et selle lainepikkus (λ) määrab selle ja mida mõõdetakse nanomeetrites (nm) ja λ = 1/f, kus f on footoni võnkumissagedus.

Nii et see, mida me nimetame PUNASEKS, on põhimõtteliselt (suur) hunnik footoneid, mis võnguvad 630 nm juures, need footonid löövad asja vastu ja põrkavad meie silmadesse, mis toimivad retseptoritena ja seejärel töötleb teie aju objekti värvi PUNANENA; või footonid võivad otse silma sattuda ja näete neid kiirgavat LED -i PUNASES värvitoonis.

Avastati, et see, mida me nimetame valguseks, on tegelikult vaid väike osa elektromagnetilisest spektrist, vahemikus 380–740 nm; nii et valgus on elektromagnetiline laine. Spektri selle osa jaoks on uudishimulik see, et just spektriosa läbib vett kergemini. Arva ära? Meie iidsed esivanemad ürgsupist olid tegelikult vees ja just selles vees hakkasid esimesed, keerukamad elusolendid silmi arendama. Soovitan teil vaadata lisatud Kurzgesagti videot, et paremini mõista, mis on valgus.

Kokkuvõtteks võib öelda, et LED kiirgab valgust, mis on teatud hulk radiomeetrilist võimsust (mW) teatud lainepikkusel (nm).

Tavaliselt, kui tegemist on nähtava valgusega, ei räägi me radiomeetrilisest võimsusest (mW), vaid valgusvoost (lm), mis on mõõtühik, mida kaalutakse inimese silmade nähtavale valgusele reageerimisel. kandela mõõtühik ja seda mõõdetakse luumenis (lm). Selles esitluses käsitleme valgusdioodide kiirgust, kuid kõik kehtib mW kohta täpselt samal määral.

Mis tahes LED -andmelehel annab tootja teile järgmised andmed:

Näiteks näete sellelt lisatud andmelehelt, et kui mõlemad toiteallikad on 100 mA, on teil järgmine:

SININE on 480 nm juures ja selle valgusvoog on 11 lm;

GREEN on 530 nm ja selle valgusvoog on 35 lm.

See tähendab, et Gaussi sinine kõver on kõrgem, see tõuseb rohkem, muutmata selle laiust, ja võngub ümber sinise joonega piiritletud osa. Selles artiklis selgitan, kuidas arvutada Gaussi kõrgust, mis väljendab LED -i kiirgavat tippvõimsust, mitte ainult selles spektriosas eralduvat võimsust, kahjuks on see väärtus madalam. Lisaks püüan kahe LED -i kattuvat osa lähendada, et mõista, kui palju valgusvoogu kattub, kui tegemist on LED -idega, mis on spektris "naabrid".

Valgusdioodide voo mõõtmine on väga keeruline asi. Kui soovite rohkem teada saada, laadisin üles Osrami üksikasjaliku paberi, mis selgitab, kuidas asju tehakse.

2. samm: sissejuhatus parabooli

Ma ei süvene parabooli üksikasjadesse, kuna seda koolis põhjalikult uuritakse.

Parabooli võrrandi saab kirjutada järgmisel kujul:

y = kirves^2+bx+c

ARHIMEDES AITAB MEID

Tahaksin rõhutada Archimedese olulist geomeetrilist teoreemi. Teoreem ütleb, et ristkülikus piiratud parabooli pindala on võrdne 2/3 ristküliku pindalaga. Esimesel pildil koos parabooliga näete, et sinine ala on 2/3 ja roosad alad on 1/3 ristküliku pindalast.

Parabooli ja selle võrrandi saame arvutada, teades parabooli kolme punkti. Meie puhul arvutame tipu ja teame ristumisi x -teljega. Näiteks:

SININE LED -tipp (480,?) Tipu Y on võrdne tipplainepikkusel kiirgava valgusvõimsusega. Selle arvutamiseks kasutame seost, mis eksisteerib Gaussi ala (tegelik valgusvoog, mida kiirgab valgusdiood) ja parabooli pindala vahel ning kasutame Archimedese teoreemi, et teada saada seda parabooli sisaldava ristküliku kõrgus.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

PARABOLILINE MUDEL

Vaadates minu üleslaaditud pilti, näete keerulist mudelit, mis kujutab paraboolidega mitut erinevat LED -valgusvoogu, kuid me teame, et nende kujutis ei ole täpselt selline, kuna sarnaneb rohkem Gaussiga.

Paraboolide abil saame aga matemaatika valemeid kasutades leida mitme parabooli kõik lõikepunktid ja arvutada lõikuvad alad.

Sammus 5 olen lisanud arvutustabeli, kuhu olen pannud kõik valemid ühevärviliste valgusdioodide kõigi paraboolide ja nende ristuvate alade arvutamiseks.

Tavaliselt on LED-i Gaussi baas suur 66nm, nii et kui me teame domineerivat lainepikkust ja lähendame LED-kiirguse parabooliga, siis teame, et suhteline parabool ristub x-teljega λ+33 ja λ-33.

See on mudel, mis annab parabooliga ligikaudse valgusdioodi. Kuid me teame, et kui tahame olla täpsed, pole see päris õige, peame kasutama Gaussi kõveraid, mis viib meid järgmise sammuni.

3. samm: Gaussi kõvera sissejuhatus

Gaussi järgi on see kõver, mis kõlab keerukamalt kui parabool. Gauss mõtles selle välja vigade tõlgendamiseks. Tegelikult on sellel kõveral väga kasulik näha nähtuse tõenäosuslikku jaotust. Niipalju kui me liigume keskmisest vasakule või paremale, on meil teatud nähtus harvem ja nagu näete viimaselt pildilt, on see kõver väga hea lähendus tegeliku elu sündmustele.

Gaussi valem on hirmutav, mida näete teise pildina.

Gaussi omadused on järgmised:

- see on sümmeetriline austus keskmise suhtes;

- x = μ langeb kokku mitte ainult aritmeetilise keskmisega, vaid ka mediaani ja režiimiga;

- see on x -teljel igal pool asümptomaatiline;

- see väheneb xμ korral;

- sellel on kaks käänupunkti x = μ-σ;

- kõvera alune pindala on 1 ühik (see on tõenäosus, et iga x kinnitab)

σ on standardhälve, mida suurem number, seda laiem on Gaussi baas (esimene pilt). Kui väärtus on 3σ osas, teaksime, et see tõepoolest eemaldub keskmisest ja selle juhtumise tõenäosus on väiksem.

Meie puhul teame LED -idega Gaussi ala, mis on tootja andmelehel antud valgusvoog antud lainepikkuse tipul (mis on keskmine).

4. samm: tutvustamine Geogebraga

Selles osas õpetan teile, kuidas kasutada Geogebra, et näidata, et parabool on 2,19 korda suurem kui Gaussi.

Esiteks peate looma paar muutujat, klõpsates liuguri käsul:

Standardhälve σ = 0,1 (standardhälve määrab, kui lai on Gaussi kõver, panin väikese väärtuse, kuna tahtsin selle muuta kitsaks, et simuleerida LED -i spektraalvõimsuse jaotust)

Keskmine on 0, nii et Gauss on ehitatud y -teljele, kus on lihtsam töötada.

Funktsiooniosa aktiveerimiseks klõpsake väikese laine funktsiooni; seal klõpsates fx saate sisestada Gaussi valemi ja näete ekraanil kena Gaussi kõverat.

Graafiliselt näete, kus kõver läheneb x-teljel, minu puhul X1 (-0,4; 0) ja X2 (+0,4; 0) ja kus tipp asub V-s (0; 4).

Selle kolme punktiga on teil parabooli võrrandi leidmiseks piisavalt teavet. Kui te ei soovi käsitsi arvutusi teha, kasutage järgmises etapis seda veebisaiti või arvutustabelit.

Kasutage funktsiooni käsku (fx), et täita äsja leitud paraboolifunktsioon:

y = -25x^2 +4

Nüüd peame mõistma, kui palju gausslasi on paraboolis.

Peate kasutama funktsiooni käsku ja sisestama käsu Integral (või minu puhul Integrale, kuna kasutasin itaaliakeelset versiooni). Kindel integraal on matemaatiline operatsioon, mis võimaldab meil arvutada funktsiooni pindala kuni x väärtuse vahel. Kui te ei mäleta, mis on kindel integraal, lugege siit.

a = integraal (f, -0,4, +0,4)

See Geogebra valem lahendab funktsiooni f, Gaussi, määratletud integraali vahemikus -0,4 kuni +0,4. Kuna meil on tegemist Gaussiga, on selle pindala 1.

Tehke sama parabooli puhul ja avastate maagilise numbri 2.13. Mis on võtmenumber, et teha kõik valgusvoo muundamised LED -idega.

5. samm: näide tegelikust elust LED -idega: voolu tipp ja kattuvate voogude arvutamine

VALGUSLUKK TIPUS

Nüüd, kui oleme avastanud ümberarvestusteguri 2,19, on LED -voogude jaotuse Gaussi kõverate tegeliku kõrguse arvutamine väga lihtne.

näiteks:

SININE LED -valgustugevus on 11 lm

- teisendame selle voo gaussi keelest paraboolseks 11 x 2,19 = 24,09

- me kasutame Archimedese teoreemi, et arvutada suhteline ristküliku pindala, mis sisaldab parabooli 24,09 x 3/2 = 36,14

- leiame selle sinise LED -i jaoks Gaussi aluse jagamise ristküliku kõrguse, mis on antud andmelehel või on näha andmelehe diagrammil, tavaliselt umbes 66 nm, ja see on meie võimsus tipul 480 nm: 36,14 / 66 = 0,55

ÜLEVAADEVAD VALGUSLIKUD ALAD

Kahe kattuva kiirguse arvutamiseks selgitan näidet järgmiste kahe LED -iga:

SININE on 480 nm ja selle valgusvoog on 11 l Roheline on 530 nm ja valgusvoog on 35 lm

Me teame ja näeme diagrammilt, et mõlemad Gaussi kõverad lähenevad -33 nm ja +33 nm, seega teame, et:

- SININE lõikub x -teljega 447 nm ja 531 nm

- ROHELINE lõikub x -teljega 497 nm ja 563 nm

Näeme selgelt, et kaks kõverat lõikuvad, kuna esimese üks ots on teise alguse järel (531nm> 497nm), nii et nende kahe valgusdioodi valgus kattub mõnes punktis.

Esiteks peame mõlema paraboolivõrrandi arvutama. Lisatud arvutustabel aitab teil arvutusi teha ja on sisestanud valemid võrrandisüsteemi lahendamiseks, et määrata kaks parabooli, teades x telge lõikavaid punkte ja tippu:

SININE parabool: y = -0.0004889636025x^2 + 0.4694050584x -112.1247327

ROHELINE parabool: y = -0,001555793281x^2 + 1,680256743x - 451,9750618

mõlemal juhul a> 0 ja, nii et parabool osutab õigesti tagurpidi.

Selle tõestamiseks, et need paraboolid on õiged, täitke paraboolikalkulaatori veebisaidi tippude kalkulaatoris a, b, c.

Arvutustabelis on kõik arvutused juba tehtud, et leida paraboolide lõikumispunktid ja arvutada kindel integraal, et saada nende paraboolide ristuvad alad.

Meie puhul on sinise ja rohelise LED -spektri ristuvad alad 0,4247.

Kui meil on ristuvad paraboolid, saame selle äsja rajatud ala korrutada Gaussi kordaja 0,4694 jaoks ja leida väga lähedane ligikaudne arv sellest, kui palju võimsust valgusdioodid selles spektriosas kokku kiirgavad. Selles jaotises eraldatud LED -valgusvoo leidmiseks jagage see 2 -ga.

6. samm: katselise lambi monokromaatiliste LED -ide uurimine on nüüd lõpule jõudnud

Noh, tänan teid väga selle uuringu lugemise eest. Loodan, et teil on kasulik sügavalt aru saada, kuidas lambist valgust kiirgatakse.

Uurisin kolme tüüpi ühevärviliste valgusdioodidega valmistatud spetsiaalse lambi valgusdioodide voogusid.

Selle lambi valmistamiseks on järgmised koostisosad:

- 3 LED BLU

- 4 LED ROHELIST

- 3 LED PUNAST

- 3 takistit, et piirata voolu LED -ahela harudes

- 12V 35W toide

- reljeefne akrüülkate

- OSRAM OT BLE DIM -juhtimine (Bluetooth LED -juhtseade)

- Alumiiniumist jahutusradiaator

- M5 paksud ja pähklid ning L sulgud

Juhtige kõike nutitelefoni Casambi APP abil, saate iga LED -kanali eraldi sisse lülitada ja hämardada.

Lambi ehitamine on väga lihtne:

- kinnitage LED kahepoolse teibiga radiaatori külge;

- jootke kõik BLU LED -id järjestikku takisti abil ja tehke sama ahela iga haru teise värviga. Vastavalt teie valitud LED -idele (ma kasutasin Lumileds LED -i) peate valima takisti suuruse vastavalt sellele, kui palju voolu LED -i sisestate, ja 12 V toiteallika antud kogupinge suhtes. Kui te ei tea, kuidas seda teha, soovitan teil lugeda seda suurepärast juhendit selle kohta, kuidas määrata takisti suurust, et piirata LED -ide voolu.

-ühendage juhtmed Osram OT BLE iga kanaliga: LED -ide harude peamine positiivne osa läheb ühisele (+) ja harude kolm negatiivset -vastavalt -B (sinine) -G (roheline)) -R (punane).

- Ühendage toide Osram OT BLE sisendiga.

Osram OT BLE puhul on lahe see, et saate luua stsenaariume ja programmeerida LED -kanaleid, nagu näete video esimeses osas, et ma hämardan kolme kanalit ja video teises osas kasutan mõnda valmis valgusstsenaariumid.

JÄRELDUSED

Olen matemaatikat laialdaselt kasutanud, et sügavalt mõista, kuidas nende lampide voog levib.

Loodan väga, et olete täna midagi kasulikku õppinud ja annan endast parima, et tuua õpetatavaid rohkem selliseid põhjalikke rakendusuuringuid nagu see.

Uurimine on võti!

Nii kaua!

Pietro